$X为一集合,假设有子集族\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)(\mathcal{P}(X)代表X的幂集)满足下列条件$
1.$X\subseteq \mathcal{F}$
2.$(\forall A \in \mathcal{F})\{(A \in F)\to[(X-A)\in \mathcal{F}]\}$
3.$(\forall \mathcal{A})\{[(\mathcal{A} \simeq \mathbb{N})\wedge(\mathcal{A\subseteq F})]\to(\bigcup \mathcal{A\in F})\}$
$则称\mathcal{F}是X的一个\sigma代数$

$定义第3条的A\simeq\mathbb{N},意思是\mathcal{A}和自然数集\mathbb{N}等势,直观的意思就是\mathcal{A}中的元素跟自然数一样多.$

$以上定义的直观理解为:一群X的子集所组成的集合\mathcal{F}为X上的一个\sigma代数意思是满足:$
$1.X本身就是\mathcal{F}的元素;$
$2.如果集合A在\mathcal{F}中,那么它的补集X-A也在\mathcal{F}中;$
$3.如果有可数个集合A_{1},A_{2},\cdots都在\mathcal{F}中,那么它们的并集也在\mathcal{F}中.$
$在测度论中(X,\mathcal{F})会被称为一个可测空间,而在概率论中,\mathcal{F}被称为事件族,\mathcal{F}中的子集A则称为事件$

$设X是一个非空集合,记\mathcal{P}(X)是X的幂集,即以X的所有子集(包含\emptyset和X)为元素的集合.把\mathcal{P}(X)的子集(即以X的一部分子集为元素的集合)称为X的子集族$
$A-B=\{x:x\in A \wedge x\notin B\}$
$并集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合A\cup B$
$(\forall A)(\forall B)(\forall x)\{(x\in A\cup B)\leftrightarrow[(x\in A)\vee(x\in B)]\}$
$也就是直观上$
$对所有x,x\in A\cup B等价于x\in A或x\in B$

$设X是一个非空集合.X的一个子集族\tau称为X的一个拓扑,如果它满足$
$1.X,\emptyset都包含在\tau中;$
$2.\tau中任意多个元素的并集仍属于\tau;$
$3.\tau中有限多个元素的并集仍属于\tau$
$集合X和它的一个拓扑\tau被称为一个拓扑空间,记为(X,\tau).称\tau中的元素为这个拓扑空间的开集.$

$定义中的3个条件称为拓扑公理.3可等价的换为$
$4.\tau中两个元素的交集仍属于\tau$
$3蕴含着4.另一方面容易用归纳法从4推出3$

$随机变量通常用大写字母X,Y表示.$

$X:S\to\mathbb{R}是一个定义在样本空间S上的实函数,而{\Large\varepsilon}\subseteq\mathcal{P}(S)为S的某事件族,若对于任意实数r\in\mathbb{R},有$
$\{s\in S | X(s) \le r\}\in {\Large\varepsilon}$
$(也就是说X(s)\le r必为一个事件)$
$则称函数X为一个(在{\Large\varepsilon}的意义下)定义在S上的随机变量$
$如果随机变量X的取值是有限的或者是可数无穷尽的值$
$X(S)=\{x_{1},x_{2},x_{3},...\}\simeq\mathbb{N}$
$则称X为离散随机变量.$
$如果X的取值遍布一区间甚至是整个数线(a,b\in\mathbb{R})$
$X(s)=[a,b]$
$则称X为连续随机变量$ $样本空间是一个实验或随机试验所有可能结果的集合,而随机试验中的每个可能的结果被称为样本点.通常用S,\Omega或U表示$
$在概率论中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验$
$1.可以在相同的条件下重复的进行.$
$2.每个试验的可能结果不止一个,并且能实现明确事件的所有的可能结果.$
$3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.$

$条件概率就是事件B发生的条件下事件A发生的概率,表示为P(A|B),读作A在B发生的条件下发生的概率$
$联合概率表示两个事件共同发生的概率.$

$设\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(x)是X的一个子集族,则$
${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$
$也是X的\sigma代数$

$根据\sigma(\mathcal{F})的定义,对所有的集合A有$
${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F}})\leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\rightarrow (A\in \Sigma )\right\}}\quad(a)$

$(1)\ X \in \sigma(\mathcal{F})$
$对所有的集合族\Sigma来说,只要\Sigma是\sigma代数,按照1.有X\in \Sigma,所以由式(a)的右方的确可以得出X\in\sigma(\mathcal{F})$
$(2)若A\in \Sigma,则X-A也在\sigma(\mathcal{F})中$
$若A\in\Sigma,那根据式(a),对所有的集合族\Sigma来说,只要\Sigma是\sigma代数且\mathcal{F}\subseteq\Sigma,有A\in\Sigma,所以对所有\Sigma只要满足这两个条件$
$(即\Sigma\ is \ a \ algebra\ of \ X和F\subseteq\Sigma),有X-A\in\Sigma,所以由式(a)的右方的确有$
$(\forall A){[A\in\sigma(\mathcal{F})]\to[X-A\in\sigma(\mathcal{F})]}$
$(3)可数个并集也在\sigma(\mathcal{F})中$
$若\{A_{1},A_{2},...\}\subseteq\sigma(\mathcal{F}),由式(a),只要\Sigma满足(a)左方的两个条件就有\{A_{1},A_{2},...\}\subseteq\Sigma,所以$
$\bigcup\{A_{1},A_{2},...\}\in \Sigma$
$所以再从(a)右方,就可以得到\bigcup\{A_{1},A_{2},...\}\in\sigma(\mathcal{F})$

$于是\sigma(\mathcal{F})被称为包含\mathcal{F}的最小\sigma代数$
$(X,\tau)是一个拓扑空间,则拓扑\tau的最小\sigma代数\sigma(\tau)被称为X的Borel\ algebra$
$任意A\in\sigma(\tau)则被称为Borel\ set$

$若\Sigma_{X}是集合X的\sigma代数,则(X,\Sigma_{X})被称为可测空间$

$(X,\Sigma)为可测空间,函数\mu:\Sigma\to[0,\infty)若满足:$
$\mu(\emptyset)=0(空集合的测度为零)$
$若集合序列{E_{n}\in\Sigma}_{n\in\mathbb{N}}对所有不相等正整数i\ne j都有E_{i}\cap E_{j}=\emptyset,则$
$\mu\bigg(\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}E_{n}\bigg)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})$

$那\mu被称为定义在\Sigma上的一个非负测度,或简称为测度.为了叙述简便起见,也可称(X,\Sigma,\mu)为一测度空间.$
$如果将\mu的值域扩展到复数,也就是说\mu:\Sigma\to\mathbb{C},那\mu会被进一步称为复数测度.$

$1.设E\subset\mathbb{R},称m^{*}(E)=\mathrm{inf}\left\{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|I_{n}|\ \bigg | \{I_{n}\}为至多可数个开区间构成的E的开覆盖\right\}$
$为E的勒贝格外测度,其中|I|表示区间I的长度$
$设A为数轴上一个点集,\mathcal{A}为以一些开区间为元素构成的集合,若对任意x\in A,都存在\mathcal{A}中的开区间I,使得x\in I,即$
$A\subset\bigcup\limits_{I\in\mathcal{A}}I$
$称集合\mathcal{A}为数集A的开覆盖$
$若集合\mathcal{A}含有无限多个元素(开区间),称它为数集A的无线开覆盖,否则称为数集A的有限开覆盖.$
$若\mathcal{A,B}均为数集A的开覆盖,且\mathcal{A\subset B},称\mathcal{A}为\mathcal{B}的子覆盖.$

$(1)若E\subset\mathbb{R},则m^{*}(E)\ge 0.$
$(2)若E_{1}\subset E_{2},则m^{*}(E_{1})\le m^{*}(E_{2}).$
$(3)若E为区间,则他的外测度等于长度,即m*(E)=|E|$
$(4)若{E_{n}}为一列实数子集,则$
$m^{*}\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(E_{n})$
$(5)若E\subset\mathbb{R},则E对任意实数a的平移E_{a}=\left\{x+a\ |\ x\in E\right\}的外测度与E的外测度相同,即$
$m^{*}(E)=m^{*}(E_{a})$

$H\le G,a\in G,aH=\{ax\ |\ x \in G\}$
$aH称为子群H在群G中由a诱导的左陪集$

$(\forall \mathcal{M})(\forall x)\left\{(x\in \bigcup\mathcal{M})\leftrightarrow(\exists A)[(A \in \mathcal{M})\wedge(x\in A)]\right\}$
$若X\subset\bigcup\mathcal{M}\ 会称X被\mathcal{M}覆盖(cover)$

$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau$

$f(\tau),0\le \tau\le t$
$(f*g)(t):=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau$

$f(\tau)\ 信号发生(激励),g(t-\tau)\ 系统对信号的响应,(f*g)(t)\ 从0到t时刻积的求和.$

$<控制论>$

$设f(t)是一个时间t的函数,这里t从-\infty到\infty,即对每一时刻t,f(t)都是一个数值量.对任一时刻t,当s小于或等于t时,f(s)都是可求得的;$
$但当s大于t时则否$

$有些机械和电气设备,其输入有固定的延迟时间,也就是说,对于"输入"f(t),输出为f(t-\tau),这里\tau为固定的延迟$
$我们可以将几个这种类型的装置合起来,产生输出f(t-\tau_{1}),f(t-\tau_{2}),\cdots,f(t-\tau_{n})(电压)$
$我们也"不难"设计一个简单的电路,一种自动平衡装置和放大器使它们乘以一个负的或大于一的量,得到输出$
$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}f(t-\tau_{k})$
$通过增加延迟\tau_{k}的数量,并适当调整系数a_{k},我们就可以得到近似于我们希望的输出形式$
$\int_{0}^{\infty}a(\tau)f(t-\tau)\mathrm{d}\tau$

$一个类ob(\mathcal{C}),其元素称为对象;(类(class)是一组集合(或其他数学对象)所构成的整体,不是集合的类被称之为真类)$

$\int_{0}^{1}\sqrt{e^{2x}+1}$
$\sqrt{e^{2x}+1}=t\quad x=\frac{1}{2}\ln(t^{2}-1)$
$x\to 1\quad t\to \sqrt{e^{2}+1}\quad x\to 0\quad t \to \sqrt{2}$
$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^{2}+1}}t\mathrm{d}\frac{1}{2}\ln(t^{2}-1)$
$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^{2}+1}}t\frac{2t}{t^{2}-1}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}t$
$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^{2}+1}}1\mathrm{d}t+\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{e^{2}+1}}\frac{1}{t^{2}-1}\mathrm{d}t$
$\sqrt{e^{2}+1}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{e^{2}+1}-1}{\sqrt{e^{2}+1}+1}\right|-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right|$

$\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^{2}}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\ln(\sqrt{5}+2)$

$设a,b\in\mathbb{N}-\{0\},则存在u,v\in\mathbb{Z},使得a,b的最大公因子(a,b)=ua+vb$
$证明\ 对于a,b\in N^{*},构造U=\{x|x\in\mathbb{N},x=ma+nb,m,n\in\mathbb{Z}\},由a=1\cdot a+0\cdot b,b=0\cdot a+1\cdot b可知a,b\in U$
$所以U\ne\emptyset,因此在其中有最小元d=ua+vb,u,v\in\mathbb{Z}$

$对于d及任意x\in U,有d|x.否则,则存在q,r\in\mathbb{N},0\le r\le d,有x=qd+r,而x=ma+nb,就有r=x-qd=ma+nb-q(ua+vb)=(m-qu)a+(n-qv)b$
$从而r\in U,而0<r<d,这与d是U中最小的数矛盾,所以d|x,\forall x\in U$
$因此d是a,b的公因子,从而1\le d\le (a,b)$
$然而d=ua+vb所以(a,b)|d,因此d=(a,b)=ua+vb$

$如果连续型随机变量x具有概率密度函数$
$f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{{2\sigma}^{2}}}$

$则称x服从参数\mu,\sigma的正态分布或Gauss分布,x\sim N(\mu,\sigma^{2})$

$令\frac{x-\mu}{\sigma}=t,并利用Poisson积分\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}$
$可得\int_{-\infty}^{+\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{{2\sigma}^{2}}}\mathrm{d}x=1$

$T=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\ n\to\infty$

$=1$

$设\phi:G\to G_{1}是群同态$

$P\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_{i}\right)\le\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(B_{i})=\frac{9}{10}\times\frac{18}{19}\cdots\times\frac{9n}{9n+1}\ n\to\infty=0$

$\int_{0}^{\infty}sin(x)\mathrm{d}x=1$

$\cos{75}=\cos{(45+30)}$
$\cos{45}\cdot\cos{30}-\sin{45}\sin{30}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos{2\alpha}=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$
$\cos^{2}\alpha=\frac{\cos{2\alpha}+1}{2}$
$\int \sin^{2}\alpha\mathrm{d}\alpha=\int \frac{1-\cos{2\alpha}}{2}\mathrm{d}\alpha=\int \frac{1}{2}\mathrm{d}\alpha-\int \frac{\cos{2\alpha}}{2}\mathrm{d}\alpha=\frac{\alpha}{2}+\frac{\sin{2\alpha}}{4}+C$

$\int \cos^{2}{\alpha}\mathrm{d}\alpha=\int 1 \mathrm{d}\alpha-\int \sin^{2}\mathrm{d}\alpha=\frac{\alpha}{2}-\frac{\sin{\alpha}}{4}+C$