$So\ the\ polynomials,0,1,plus\ and\ multiplication\ form\ a\ ring\ k[X]$

$which\ we\ denote\ as\ k[X],k\ means\ the\ coefficients\ are\ in\ k\ x\ means\ there\ is\ one\ variable$

$Let\ R\ be\ a\ ring.\ A\ subset\ I\ is\ called\ an\ ideal\ if\ it\ satisfies\ the\ folling\ conditions$

$\forall x \in I,\forall r\in R,r\cdot x \in I$

$In\ general,every\ polynomial\ generates\ an\ ideal\ of\ the\ polynomial\ ring$

$(f)=\{af:f\in k[X],a\in k\}$

$The\ affine\ Algebraic\ Varieties$

$z=f(x,y)\ \phi(x,y)=0$

$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\cdot\phi(x,y)$

$\cfrac{\partial F}{\partial x}=0$
$\cfrac{\partial F}{\partial y}=0$
$\phi(x,y)=0$

$代数式x^{2}+10y^{2}+6xy-4y+4的最小值为?------<中考复习全景突破.数学>P.6$

$解$

$\cfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x+6y=0$

$\cfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=20y+6x-4=0$

$ \begin{vmatrix} 2\quad 6 \\ 6\quad 20 \\ \end{vmatrix}=4 \quad \begin{vmatrix} 0\quad 6 \\ 4\quad 20 \\ \end{vmatrix}=-24 \quad \begin{vmatrix} 2\quad 0 \\ 6\quad 4 \\ \end{vmatrix}=8 \quad $

$\to x=-6,y=2$

$\Delta=\cfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}\cdot\cfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}-\left(\cfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}\right)^{2}=4>0$

$\cfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}=2>0$

$f(-6,2)=0$

$设H为群G的非空子集,如果H在G的运算下构成群,则称H为G的子群,记作H\le G$

$设G是群,H\subseteq G$
$(1)H\le G$
$(2)对任意的a,b\in H,恒有ab\in H和a^{-1}\in H$
$(3)对任意的a,b\in H,恒有ab^{-1}\in H(或a^{-1}b\in H)$
$(1)\to (2)和(2)\to (3)显然,现在证明(3)\to(1),由于H\ne \emptyset,故存在a\in H,在(3)$
$中取b=a,得到e=ab^{-1}\in H,即H中有幺元,对于任一h\in H,在(3)中取a=e,b=h,得到h^{-1}=eh^{-1}\in H,即H中含有其中任意元素的逆元$
$又,H对乘法封闭:这因为对任意的a,b\in H,有b^{-1}\in H,进而有ab=a(b^{-1})^{-1}\in H.$
$最后,由于H中的运算就是G中的运算,所以满足结合律,这就证明了(1)$

$设G是群,H,K是G的子集,规定H,K的积为HK=\{hk | h \in H,k\in K\}$

$如果K={a},仅由一个元素a组成,则简记为H{a}=H{a},类似地有aH等.$
$我们还规定H^{-1}=\{h^{-1} | h\in H\}$

$对于正整数n,规定H^{n}=\{h_{1}h_{2}\cdots h_{2}\ |\ h_{i}\in H\}$

$设G是群,H\subset G,H\ne \emptyset,则下列命题等价$
$H\in G$
$H^{2}\subset H且H^{-1}\subset H$
$HH^{-1}\subset H(或H^{-1}H\subset H)$

$设H\subset G,用H可以给出G上的一个等价关系\sim如下$

$对于任意的a,b\in G,a \sim b 定义为存在h\in H,使得a=bh$

$我们来验证\sim确实是一个等价关系$
$反身性.对于任意a\in G,存在e \in H使得a=ae,故a\sim a$
$对称性.设a\sim b,则存在h\in H,使得a=bh,两端右乘h^{-1},得ah^{-1}=b,而h^{-1}\in H,故b\sim a$
$传递性.设a\sim b,b\sim c,则存在h,k\in H,使得a=bh,b=ck,于是a=(ck)h=c(kh).由于H是子群,故kh\in H,所以a\sim c$
$这就证明了\sim是一个等价关系$

$不难看出,在这个等价关系下G地元素a所在的等价类就是aH.事实上,b\sim a\leftrightarrow 存在h\in H使得b=ah\leftrightarrow b\in aH$

$类似的,我们可以定义G上的等价关系\sim:$
$在\sim下a所在的等价类就是Ha.$
$设H\le G,a\in G,称形如aH(相应的Ha)的子集为H的一个右陪集$
$G=\bigsqcup\limits_{aH}aH$
$H的左陪集的个数(不一定有限)称为H在G中的指数$

$设H\subseteq G,H是G的子群的充要条件是对任意a,b\in H,有ab^{-1}\in H$

$设H\le G,a\in G,称形如aH(相应地,Ha)的子集为H的一个左(相应地,右)陪集$

$a\in aH$
$e\in H,a=ae\in aH$
$a\in H\leftrightarrow aH=H$
$a\in aH=H$
$\forall x\in H,ax\in H,ax\in H,aH\subseteq H$
$\forall x\in H,a^{-1}x\in H,x=a(a^{-1}x)\in aH,H\subseteq aH$
$aH=H$

$等边\bigtriangleup ABC内有一点P,P点到三边的距离分别为1,2,3,则S_{\bigtriangleup ABC}=$P.150

$A(0,0),B(s,0),C(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}s)$

$AB:y=0$
$AC:\sqrt{3}x-y=0$
$BC:-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}s=0$

$a=d(P(x,y),AB)=\frac{y}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=y$

$b=d(P,AC)=\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{3}x-y}{2}$

$c=d(P,BC)\frac{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}s}{\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{3}(s-x)-y}{2}$

$a+b+c=\frac{\sqrt{3}s}{2}$

$b=\frac{\sqrt{3}x-y}{2}=\frac{\sqrt{3}x-a}{2}\to x(b,a)=\frac{2b+a}{\sqrt{3}}\wedge y(a,b)=a$

$A= \begin{vmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial b}\quad \cfrac{\partial x}{\partial a} \\ \cfrac{\partial y}{\partial b}\quad \cfrac{\partial y}{\partial a} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cfrac{2}{\sqrt{3}}\quad \cfrac{1}{\sqrt{3}} \\ 0\quad 1 \\ \end{vmatrix}$¶

$\det(A)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 1-0\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$a\ge 0,b\ge 0,b\le h-a$

$S_{\bigtriangleup ABC}=\iint_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{U}|\frac{2}{\sqrt{3}}|\mathrm{d}b\mathrm{d}a=\int_{0}^{h}\int_{0}^{h-a}\mathrm{d}b\mathrm{d}a=\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{0}^{h}(h-a)\mathrm{d}a$

$\int_{0}^{h-a}\mathrm{d}b=h-a\quad F(a)=\int(h-a)\mathrm{d}a=ha-\frac{a^{2}}{2}$
$\int_{0}^{h}h-a\mathrm{d}a=F(h)-F(0)=\frac{h^{2}}{2}$

$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{h^{2}}{2}=\frac{h^2}{\sqrt{3}}$

$a=1,b=2,c=3\Rightarrow S_{\bigtriangleup ABC}=12\sqrt{3}$

$矩形ABCD中,AB=2cm,AD=5cm,动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AD向终点D移动,设移动时间为t(s),$
$连接PC,以PC为一边做正方形PCEF,连接DE,DF,则\bigtriangleup DEF的面积最小值为()$
$A.\ \frac{3}{2}cm^{2}\quad B.\frac{3}{4}cm^{2}$
$C.\ \frac{4}{5}cm^{2}\quad D.\frac{8}{5}cm^{2}$

$解$
$B(0,0),A(0,2),C(5,0),D(5,2),P(t,2)$
$\mathbf{CP}=(t-5,2)$

$U= \begin{bmatrix} cos(-\frac{\pi}{2})\quad -sin(-\frac{\pi}{2}) \\ sin(-\frac{\pi}{2})\quad cos(-\frac{\pi}{2}) \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\quad 1 \\ -1\quad 0 \\ \end{bmatrix}$¶

$V= \begin{bmatrix} \cos{(\frac{\pi}{2})} & -\sin{(\frac{\pi}{2})} \\ \sin{(\frac{\pi}{2})} & \cos{(\frac{\pi}{2})} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$¶

$-(V\cdot\mathbf{CP}^{T})=\mathbf{PF}^{T}=(2,5-t)^{T}$

$U\cdot \mathbf{CP}^{T}=\mathbf{CE}^{T}=(2,5-t)^{T}$

$\to F=(t+2,7-t),E=(7,5-t)$

$ S= \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 1 \\ 7 & 5-t & 1 \\ t+2 & 7-t & 1 \\ \end{array} \right] $

$S_{\bigtriangleup FDE}=\frac{1}{2}\cdot \det{(S)}=\frac{1}{2}\cdot|t^{2}-8t+19|$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^2-8t+19)=0$

$t=4$

$S_{\bigtriangleup FDE}=\frac{3}{2}$

$现在我给出Cayley定理.设G是群.对任意a\in G,定义G上的变换$
$L(a):G\to G$
$g\to ag$ $L(a)称为由a引起的G的左平移.对于任意g\in G,有L(a)L(a^{-1})(g)=L(a)(a^{-1}g)=a(a^{-1}g)=g$

$所以L(a)L(a^{-1})=id_{G}.同样L(a^{-1})L(a)=id_{G}.故L(a)是G上的双射,即L(a)\in S(a)$

$(Cayley定理)任意群都同构于某一集合上的变换群$
$以L(G)记G的左平移的全体所构成的G的全变换群S(G)的子集,定义映射$
$L:G\to S(G)$
$a\mapsto L(a)$
$对于任意的a,b\in G,又L(ab)=(ab)g=a(bg)=L(a)L(b)g=(L(a)L(b))(g),\forall g\in G,$
$所以L(ab)=L(a)L(b),即L是群同态$
$显然im(L)=L(G),又显然\ker{L}=\{e\}.由同态基本定理即知G\cong L(G).$
$而L(G)是集合G上的变换群,故定理为真.$

$集合到自身映射称为A上变换$
$记\tau是A上变换,记其在元素a上的作用为$
$\tau:A\to A$
$a\to\tau(a):=a^{\tau}$
$对集合A,记A上所有集合的变换为S=\{\tau,\lambda,\mu\}$
$规定S上的乘法\cdot如下:$
$\tau:a\to a^{\tau},\lambda:a\to a^{\lambda},\tau\bigotimes\lambda:a\to(a^{\tau})^{\lambda}$
$(\tau \lambda)\mu:a\mapsto(a^{\tau \lambda})^{\mu}=((a^{\tau})^{\lambda})^{\mu}$

$设\phi:G\to G_{1}是群同态,则\phi单\leftrightarrow \ker{\phi}=\{e\}$

$设e,e_{1}分别是G和G_{1}的幺元,则$
$\phi不单\leftrightarrow存在a,b\in G,a\ne b,使得\phi(a)=\phi(b)$
$\leftrightarrow\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b)^{-1}=e_{1}$
$\leftrightarrow\ker{\phi}\supseteq\{ab^{-1},e\}$
$\leftrightarrow\ker{\phi}\ne \{e\}$

$设\phi:G\to G_{1}是群同态,则im(\phi)\le G_{1},\ker{\phi}\unlhd G$
$设e和e_{1}分别是G和G_{1}的幺元,则e_{1}=\phi(e)\in\ker{\phi}$
$故im(\phi)\ne\emptyset.对于任意的a_{1},b_{1}\in im(\phi),存在a,b\in G使得\phi(a)=a_{1},\phi(b)=b_{1},$
$于是$
$a_{1}b_{1}^{-1}=\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\in im(\phi),故im(\phi)\le G$

$(同态基本定理)$
$设\phi:G\to G_{1}是群同态,$
$则,$
$G/\ker{\phi}\cong im(\phi)$
$为简单起见,记\ker{\phi}=H$
$定义映射$
$\phi:G/H\to im(\phi)$
$aH\mapsto\zeta(a)$
$我们来验证\phi是良定义的,即\phi(aH)与陪集代表a的选取无关$
$事实上,如果aH=bH,即b\in aH,则存在h\in H使得b=ah.$
$故$
$\phi(bH)=\zeta(b)=\zeta(ah)=\zeta(a)\zeta(h)=\zeta(a)=\phi(aH)$
$即\phi良定义$
$下面证明\phi是群同构$
$首先,对于任意的aH,bH\in G/H,有$
$\phi((aH)(bH))=\phi(abH)=\zeta(ab)=\zeta(a)\zeta(b)=\phi(aH)\phi(bH)$
$所以\phi是群同态.$

$又设有\phi(aH)=e_{1}(G_{1}的幺元,即\zeta(a)=e_{1})$
$故a\in H,即aH=H(G/H的幺元)$
$所以\ker\zeta=\{H\}$
$即\phi是单射.$
$最后设g\in im(\zeta)$
$则存在a\in G使得\zeta(a)=g$
$于是\phi(aH)=\zeta(a)=g$
$这说明\phi是满射.这就证明了\phi是同构$

$若域E\supseteq F,F\ne \emptyset,F对于E中的+和\cdot构成一个域,则称F为E的一个子域,E为F的一个扩域,记作E/F$

$设(X,\rho)为完备空间,x_{0}\in X,S(x_{0},r):=\{x \in X \mid \rho(x_{0},x)<r\}$
$称它为以x_{0}为中心,r为半径的开球.$
$若\le则为闭球$
$\overline{S_{n}}=\{x\in X\mid \rho(x,x_{n})\le \epsilon_{n}\}为一列闭球$
$\overline{S_{1}}\supset\overline{S_{2}}\supset\cdots\supset\overline{S_{n}}\supset\cdots$
$若\epsilon_{n}\to 0,则\exists!x\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{S_{n}}$
$证.\forall n,m\in \mathbb{N},n\ge m,\Rightarrow x_{n}\in\overline{S_{n}}\subseteq\overline{S_{m}}\Rightarrow\rho(x_{n},x_{m})\le \epsilon_{m}$
$\Rightarrow\{x_{n}\}为Cauchy列$
$X为完备空间\Rightarrow\exists x\in X\to\rho(x_{n},x)\to 0$
$\rho(x_{m},x)\le\rho(x_{n},x)+\rho(x_{n},x_{x})+\rho(x_{m},x_{n})\le\rho(x_{n},x)+\epsilon_{m}$
$令n\to\infty,\to\rho(x_{m},x)\le\epsilon_{m}$
$\Rightarrow x\in \overline{S_{m}},m=1,2\cdots$
$\Rightarrow x\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{S_{n}}$
$y\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{S_{n}},y\ne x,\Rightarrow(\forall n\Rightarrow\rho(y,x_{n})\le\epsilon_{n})$
$\rho(x,y)\le\rho(x,x_{n})+\rho(x_{n},y)\le 2\epsilon_{n}\wedge \epsilon_{n}\to 0\Rightarrow\rho(x,y)=0\Rightarrow x=y$

$给定一个度量空间(M,d),一个序列x_{1},x_{2},x_{3},\cdots被称为柯西列,如果对于任何正实数r>0$
$存在一个正整数N使得对于所有的整数m,n>N,都有d(x_{m},x_{n})\le r$
$其中d(x,y)表示x和y之间的距离.$
$完备空间为具有下述性质的度量空间:空间中的任何柯西列都收敛在该空间之内$
$设X是任意非空集合,若对于X中的任何两点x,y均由一个数d(x,y)与它对应,且满足$
$d(x,y)\le 0$
$d(x,y)=0当且仅当x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
$则称d(x,y)为X中的一个度量,定义了度量d的集合称为度量空间(X,d)有时简记为X.$

$记T_{0}=\bigtriangleup ABC,T_{1}=\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$
$A_{1},B_{1},C_{1}分别为BC,AC,AB边上中点.$
$记A_{n}(x_{n},y_{n}),B_{n}(m_{n},n_{n}),C_{n}(p_{n},q_{n})$ $由T_{n}=\begin{bmatrix} x_{n} & y_{n} \\ m_{n} & n_{n} \\ p_{n} & q_{n} \\ \end{bmatrix} $
$ T_{n+1}=\cfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} T_{n} 易得$
$S_{T_{n+1}}=\cfrac{1}{4}S_{T_{n}}$
$\Rightarrow S_{T_{n}}\to 0$

$\epsilon_{n}=\sup\{\Vert A_{n}B_{n}\Vert\,\Vert B_{n}C_{n}\Vert,\Vert A_{n}C_{n}\Vert\}$
$而闭球B_{n}的中心为任意两条中线交点G$

$如果一个非空集合R上定义了两个二元运算+,\cdot,$
$分别称为加法和乘法$
$满足(R,+)构成Abel群$
$乘法结合律(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
$分配律(a+b)\cdot c=a\cdot c+a\cdot c$
$\forall a,b,c\in R$
$则称R关于运算+\cdot构成一个环,记为(R,+,\cdot)$
$环R中若成立$
$乘法交换律a\cdot b=b\cdot a$
$则称R为交换环$
$环R中若存在乘法幺元$
$即存在e\in R使得对于任意的a\in R,都有e\cdot a=a\cdot e$
$则称R为幺环$

$对数列的研究源于现实生产,生活的需要.例如,一棵树在某一时刻的高度是2m,如果在每年的同一时刻都记录下$
$这颗树的高度,并按先后顺序排列起来,就得到一列数.人们常用这样的一列数有序的表达一类事物,或者记录一个过程$
$像这样按顺序排列的一列数称为数列.$
$如果用正整数表示事物发展的先后顺序,并且把这样的正整数看作自变量的取值,把事物的对应数值看作相应的函数值$
$那么数列就是定义在正整数集上的一类离散函数$
$数列无论从理论研究还是实际应用中都非常重要.$

$一般地,我们把按照顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项$
$数列的第一个位置上的数叫这个数列的第一项,常用符号a_{1}表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第二项$
$用a_{2}表示\cdots,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用a_{n}表示,其中第1项也叫首相$

$数列的一般形式是a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$
$简记为a_{n}$
$由于数列中a_{n}的每一项a_{n}与它的序号n有下面的对应关系:$
$序号1\to 项a_{1},序号2\to 项a_{2},序号3\to 项a_{3},\cdots,序号n\to项 a_{n},\cdots$