$$令f:A\to B是映射,其诱导了一个A上的等价关系.$$
$$a\sim <!--\; \sim \; -->b\text{:}f(a)=f(b)$$
$$设A=\{1,2,3\}$$
$$B=\{4,5,6,7\}$$
$$假设A和B之间有一个映射f$$
$$f(1)=4$$
$$f(2)=5$$
$$f(3)=5$$
$$这个映射既不是单射也不是满射$$
$$单射,B中的每个元素都最多有一个箭头指向它$$
$$但5已经有两个箭头指向了$$
$$满射,比如没有一个箭头指向6$$
$$单射+满射=双射$$
$$只有4和5有箭头指向,所以我们挑出4,5来,把6,7从中去掉$$
$$再从A映射过来,就一定是满射了.$$
$$但它还不是一个单射,因为2,3都映射到了5$$
$$我们把2,3放在一起,因为它们的结果一样,所以我们把它当作一个元素.1也当作一个元素$$
$$这个时候我们发现\{\{1\},\{2,3\}\}\to \{4,5\}就是一个双射了$$
$$记\{\{1\},\{2,3\}\}为X,\{6,8\}为Y$$
$$于是我们把f分解为了3个映射$$
$$其中X\to Y是双射$$
$$而从Y到B的是一个单射,把4映射到4,把5映射到5$$
$$而从A到X的一个映射是一个满射$$
$$所以我们可以把任意一个映射分解为三个映射,其中这三个映射分别为单射,双射,满射$$
$$我们来看一下X和Y分别是什么$$
$$首先Y是所有f能够映射过去的元素$$
$$所以我们可以把它记作f(A)$$
$$f(A)的定义是\{f(x),x\in <!--\; \in \; -->A\}$$
$$那X又是什么呢$$
$$它看起来是我们把A中的元素经过了一次分类$$
$$我们把结果一样的元素放在了一起$$
$$比如f(2)等于5,f(3)也等于5,所以我们把2和3放在了一起$$
$$其实X就是A中的一个等价类$$
$$于是我们设法定义一个等价关系$$
$$定义a\sim <!--\; \sim \; -->b即f(a)=f(b)$$
$$f(a)=f(a)$$
$$f(a)=f(b)\to f(b)=f(a)$$
$$\cdots <!--\; \cdots \; -->$$
$$所以我们得到了一个等价类A/\sim <!--\; \sim \; -->$$
$$就是我们之前所说的X$$
$$A\to A/\sim <!--\; \sim \; -->\to f(A)\to B$$